もともと非公開なAPIであるため、正式なAPIを利用すると良いかと思います。(Graph APIを色々と使うやつです。種類によっては時間ごとの制限があります。)
もともとiframeを利用して描画されています。中身を確認してみましょう。
HTMLにペタリと数値が書き込まれています。
どれが使えなくなったのです?
https://api.facebook.com/method/links.getStats?format=json&urls=http://hatenablog.com/
こんなやつです。リミットが無いぞ良かったですね!と、みんなで使っていたやつですね。
https://graph.facebook.com/?id=http://hatenablog.com/
このエントリ時点ではこの形式が利用できます。
{
share:{},
comment_count: 1, share_count: 1102 id: "http://hatenablog.com/"}
このような形で取得できます。良かったですね。
面倒なのでスクレイピングで何とかしたエントリー。